[科普中国]-蚶线

过半径为a的定圆上一个定点O，任作一直线l交圆周于另一点P0，在l上取P点，使得|PP0l=b(b>0)，则P点的轨迹称为蜗线，也称为蚶线。

定义

设C是一条已知曲线，O是一个定点，通过O作直线和曲线C相交于点P，在这直线上点P的两侧各取一点M，使|PM|总等于某个定长，那么，这种点M的轨迹叫作已知曲线C关于已知点O的蚌线(或螺形线)。曲线C叫作蚌线的基线，定点O叫作蚌线的极点，定长叫作蚌线的间隔。

设C是平面上的一个定圆，O是位于定圆C上的一个定点，那么，圆C关于点O的蚌线叫作帕斯卡蚶线(或蜗线)，简称蚶线1。

蚶线的形状

由蚶线的定义，不难描绘出蚶线，由于定圆C的直径h与间隔a的大小关系不同，蚶线呈现三种不同的形状，如表1。当 时，这种特殊的蚶线也叫作心脏线1。

表1 蚶线

蚶线的方程

如图2，以蚶线的极点 为端点，通过基线圆的圆心作射线 ，以点 为极点，以 为极轴建立极坐标系，设基线圆的直径为h，蚶线的间隔为 ，蚶线上任意一点M的极坐标为 ，那么， 。由于 ，所以有

这即是蚶线的极坐标方程。

和蚌线的情形一样

和

也都是同一蚶线的极坐标方程，通常以(2)为蚶线的极坐标方程。

定理1以蚶线的极点 为极点，以通过基线圆的圆心的射线 为极轴建立坐标系，若蚶线的基线圆的直径为h，间隔为 ，则这蚶线的极坐标方程为

特别地，心脏线的极坐标方程为 1。

蚶线的基本性质

蚶线(2)的基本性质：

(1)对称性 只关于极轴对称。

(2)周期性 周期为 ，如表2，当 由0增大到 时，得到蚶线的上半部(当 时，有一小部分在极轴下侧)；当 由 增大到 时，得到蚶线的下半部(当 时，有一小部分在极轴下侧)；当 由 增大到 时，得到蚶线的下半部(当 时，有一小部分在极轴上侧)。

表2

(3)存在范围 因 ，所以 不能无限增大，所以蚶线囿于一有限范围内1。

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学